গণিতের জ্ঞান : অন্বয়, ফাংশন, রেঞ্জ, ডোমেন

ত্রিকোণোমিতি থেকে বিভিন্ন পরীক্ষায় আসা প্রশ্নের শর্টকাট
Content Protection by DMCA.com

গণিতের জ্ঞান : অন্বয়, ফাংশন, রেঞ্জ, ডোমেন

সাধারণ ধারণা :

অন্বয় : A ও B সেট হলে A×B এর কোন অশূণ্য উপসেটকে A থেকে B তে একটি অন্বয় বলা হয় । অর্থাৎ যদি S, A থেকে B তে একটি অন্বয় হয় তবে,S = {(x,y) ∣ x ∈ A, y ∈ B}

আবার, A×A এর কোন অশূণ্য উপসেটকে A সেটে একটি অন্বয় বলে ।

অন্বয়ের ডোমেন Domain এবং রেঞ্জ Range S এ অন্তর্ভুক্ত ক্রমজোড়গুলোর প্রথম উপাদানসমূহের সেটকে S এর ডোমেন এবং দ্বিতীয় উপাদানসমূহের সেটকে S এর রেঞ্জ বলা হয় । S এর ডোমেনকে ডোম S এবং রেঞ্জকে রেঞ্জ S লিখে প্রকাশ করা হয় ।

অর্থাৎ,
ডোম S = {x ∣ x ∈ A, (x,y) ∈ S}
রেঞ্জ S = {y ∣ y ∈ B, (x,y) ∈ S}

বিপরীত অন্বয় : S যদি A থেকে B সেটে কোন অন্বয় হয় তবে S এর বিপরীত অন্বয় হচ্ছে B থেকে A সেটে একটি অন্বয় যাকে S দ্বারা প্রকাশ করা হয় । অর্থাৎ,
S = {(y,x) ∣ y ∈ B, x ∈ A}
= {(y,x) ∣ (x,y) ∈ S}

ফাংশন (Function) : ফাংশন হল বিশেষ ধরনের অন্বয় । যদি কোন অন্বয়ে একই প্রথম উপাদানবিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড় না থাকে, তবে ঐ অন্বয়কে ফাংশন বলে । অর্থাৎ, A ও B সেট হলে A থেকে B সেটে ফাংশন F হচ্ছে A×B এর এমন একটি উপসেট যেন-

1. প্রতি a ∈ A এর জন্য একটি উপাদান b ∈ B থাকে যেখানে (a,b) ∈ F
2. যদি (a,b) ∈ F হয় এবং (a,b′) ∈ F হয় তবে অবশ্যই b = b′ হবে ।
F, A থেকে B সেটে ফাংশন হলে তাকে F : A→B লিখে প্রকাশ করা হয় । (x,y) ∈ F হলে, y কে F এর অধীনে x এর ছবি (Image) বলা হয় এবং y = F(x) লেখা হয় ।

ফাংশনের ডোমেন রেঞ্জ ও কোডোমেন:

F : A→B এর ক্রমজোড়গুলোর প্রথম উপাদানসমূহের সেটকে F এর ডোমেন বলে যাকে ডোম F লিখে প্রকাশ করা হয় । অন্য কথায়, A কে F এর ডোমেন বলে।
ডোম F = {x ∣ x ∈ A}
F এর ক্রমজোড়গুলোর দ্বিতীয় উপাদানসমূহের সেটকে F এর রেঞ্জ বলে যাকে রেঞ্জ F লিখে প্রকাশ করা হয়। অন্য কথায়, B এর যেসব উপাদান A এর উপাদানসমূহের ছবি হিসেবে পাওয়া যায় তাদের সেট হল রেঞ্জ F ।

রেঞ্জ F = {y ∣ y ∈ B, (x,y) ∈ F}
B এর সকল উপাদানসমূহের সেটকে F এর কো-ডোমেন বলে ।
রেঞ্জ ⊆ কো-ডোমেন

ফাংশনের প্রকারভেদ :

1. এক-এক ফাংশন (One-to-one function) : যদি কোন ফাংশনের অধীনে তার ডোমেনের ভিন্ন ভিন্ন সদস্যের ছবি সর্বদা ভিন্ন হয় তবে ফাংশনটিকে এক-এক ফাংশন বলা হয় । অর্থাৎ, f : A→B কে এক-এক ফাংশন বলা হয় । যদি ডোম f এর সব সদস্য x , x এর জন্য f(x ) ≠ f(x ) যখন x ≠ x । অথবা, সব x , x এর জন্য f(x ) = f(x )হলে x = x হয় । অর্থাৎ, ডোম f এর একটি সদস্য কো-ডোমেন সেটের শুধুমাত্র একটি সদস্যের সঙ্গে সম্পর্কিত হলে, f একটি এক-এক ফাংশন ।

2. সর্বগ্রাহী/ সার্বিক ফাংশন (Onto/surfective function) : f : A→B কোন ফাংশনের B সেটের সমস্ত উপাদানই যদি A সেটের উপাদানসমূহের ছবি হিসেবে পাওয়া যায় তবে ঐ ফাংশনটিকে সার্বিক ফাংশন বলে । সাধারণত f এর রেঞ্জ f(A), B সেটের একটি উপসেট হয় অর্থাৎ f(A) ⊂ B হয়; কিন্তু যখন f(A) = B হয় অর্থাৎ, রেঞ্জ = কো-ডোমেন হয় f(A) কে সার্বিক ফাংশন বলা হয় ।

3. প্রতিষঙ্গ ফাংশন (Bijective function) : কোন ফাংশন এক-এক এবং সার্বিক হলে তাকে প্রতিষঙ্গ ফাংশন বলে ।

4. বিপরীত ফাংশন (Inverse function) :

শুধুমাত্র প্রতিষঙ্গ ফাংশনের বিপরীত ফাংশন থাকে । f : A→B কোন প্রতিষঙ্গ ফাংশন হলে f দ্বারা এর বিপরীত ফাংশন প্রকাশ করা হয় যেখানে f : B→A

5. সংযোজিত ফাংশন (Composite functin) : f : A→B এবং g : B→C দুটি ফাংশন হলে, এদের দু’ধরনের সংযোজিত ফাংশন পাওয়া যাবে-

1. gof : A→C যেখানে, gof বা (gof)(x) = g(f(x))
2. fog : C→A যেখানে, fog বা (fog)(x) = f(g(x))

6. অভেদ/অভেদক ফাংশন (Indentity function) :

যদি কোন ফাংশন কোন সেটের উপাদানকে একই সেটের ঐ উপাদানের সাথেই সম্পর্কিত করে তবে ফাংশনটিকে অভেদ ফাংশন বলে । অর্থাৎ, A কোন সেট হলে F : A→A একটি অভেদ ফাংশন । দ্রষ্টব্য, অভেদ ফাংশন সব সময়ই এক-এক ফাংশন ।

7. ধ্রুব/ধ্রুবক ফাংশন (Constant function) :

যদি কোন ফাংশন f এর অধীনে A সেটের প্রত্যেকটি উপাদানের ছবি B সেটের কেবল একটি উপাদান হয় তবে f কে ধ্রুব ফাংশন বলে । অর্থাৎ, f : A→B তে সব x এর জন্য যেখানে । দ্রষ্টব্য, প্রত্যেক ধ্রুব ফাংশনের রেঞ্জ এক সদস্যবিশিষ্ট একটি সেট ।

8. অযুগ্ম ফাংশন (Odd function) : f(-x)=-f(x) হলে f কে অযুগ্ম ফাংশন বলে ।
9. যুগ্ম ফাংশন (Even funciton) : f(-x)= f(x) হলে f কে যুগ্ম ফাংশন বলে ।

বিভিন্ন ধরনের অন্বয়ের ম্যাপ :

Graph থেকে ফাংশন নির্ণয় : কোন অন্বয়ের লেখচিত্রে (graph) y অক্ষের সমান্তরালে অঙ্কিত সকল সরলরেখা যদি চিত্রকে শুধুমাত্র একটি করে বিন্দুতে ছেদ করে তবে সেই অন্বয়টি ফাংশন ।

graph থেকে এক-এক ফাংশন নির্ণয় : কোন ফাংশনের লেখচিত্রে x অক্ষের সমান্তরালে অঙ্কিত সকল সরলরেখা যদি চিত্রকে শুধুমাত্র একটি করে বিন্দুতে ছেদ করে তবে সেই ফাংশনটি এক-এক ।

Exponential ফাংশন এর ডোমেন ও রেঞ্জ: f(x) = a আকারের ফাংশনকে exponential ফাংশন বলে যেখানে, a>0 এবং a≠1 । এক্ষেত্রে,
ডোম f = R
রেঞ্জ f = [0,α]

Logarithmic ফাংশন এর ডোমেন ও রেঞ্জ: y=f(x)=log x আকারের ফাংশনকে logarithmic ফাংশন বলে যেখানে, a>0 এবং a≠1 । দ্রষ্টব্য, y = log x হয় যদি ও কেবল যদি x = a হয় । এক্ষেত্রে,
ডোম f = {x ∣ x>0}
রেঞ্জ f = R

Trigonometric ফাংশনের ডোমেন ও রেঞ্জ:f(x) = sinx হলে ডোম f = R ; রেঞ্জ f = [-1,1]
f(x) = cosx হলে ডোম f = R ; রেঞ্জ f = [-1,1]
f(x) = tanx হলে ডোম f = R -{±(2n-1)(π/2) ∣ x ∈ N} ; রেঞ্জ f = R
f(x) = secx হলে ডোম f = R -{±(2n-1)(π/2) ∣ x ∈ N} ; রেঞ্জ f = (-α,-1]⋃[1,α)
f(x) = cotx হলে ডোম f = R -{±(n-1)π ∣ n ∈ N} ; রেঞ্জ f = R
f(x) = cosecx হলে ডোম f = R -{±(n-1)π ∣ n ∈ N} ; রেঞ্জ f = (-α,-1]⋃[1,α)

গানিতিক উদাহরণ ও সমাধান :

1. f : N→N নিচের কোন ফাংশনগুলো এক-এক, সার্বিক অথবা উভয়ই তা নির্ণয় কর-
a. f(x) = 3
b. f(x) = x+1
c. f(x) = x +1
d. f(x) = x
a. f(x )=f(x ) হলে যদি x =x হয় তবে f এক-এক ফাংশন ।

এখন, f(1) = 3; f(2) = 3 কিন্তু 1≠2

∴ f এক-এক নয় ।
আবার, f : N→N । ∴ f এর ডোমেন N এবং কো-ডোমেন N । কোন ফাংশনের রেঞ্জ = কো-ডোমেন ফলে ফাংশনটি সার্বিক । এক্ষেত্রে, সকল x ∈ N এর জন্য f(x) = 3 । ∴ রেঞ্জ ≠ কো-ডোমেন ।
∴ f সার্বিক নয় ।

b. এখানে, f(x ) = x +1 এবং f(x ) = x +1 । যদি f(x ) = f(x ) হয় তবে,
x +1 = x +1 ⇒ x =x
∴ f এক-এক ।

ধরি, x ∈ ডোম f যেন f(x ) = 1 ।
∴ x +1 = 1 ⇒ x = 0 কিন্তু 0 ∈ N ।
∴ f সার্বিক নয় ।

c. এখানে, f(x ) = x +1 ও f(x ) = x +1 । যদি f(x ) = f(x ) হয় তবে
x +1 = x +1 ⇒ x = x ⇒ x = ±x
∴ f এক-এক নয় ।
আবার, ধরি x ∈ ডোম f যেন, f(x)=1
∴ x +1 = 1 ⇒ x = 0 কিন্তু 0 ∈ N
∴ f সার্বিক নয় ।

d. এখানে, f(x ) = x ও f(x ) = x যদি হয় তবে,
x = x ⇒ x = x
∴ f এক-এক
ধরি, x ∈ ডোম f যেন, f(x) = 0
∴ x = 0 ⇒ x = 0 কিন্তু 0 ∈ N
∴ f সার্বিক নয় ।

2. নিচের ফাংশনগুলোর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর ।
a. f(x) = (2x-3)/(x-2)
b. f(x) = (x -1)/(x-1)
c. f(x) = √(x+4)
d. f(x) = √(x -4)
e. f(x) = √(16-x )

f. f(x) = 2 sinx
g. f(x) = 1/x
h. f(x) = x/(∣x∣)
i. f(x) = x/(x -1)
j. f(x) = log (x -36)

a. x এর যেসকল মানের জন্য f(x)এর বাস্তব মান পাওয়া যায় x এর সেসকল মানই ডোম fএর সদস্য ।x=2 হলে,
f(x) = (2x-3)/(x-2) = (2×2-3)/(2-2) = 1/0 = অসংজ্ঞায়িত ।
∴ ডোম f = R-{2}
মনে করি, y = (2x-3)/(x-2)
⇒ xy-2y = 2y-3
⇒ xy-2x = 2y-3
⇒ x(y-2) = 2y-3
⇒ x = (2y-3)/(y-2)
y=2 হলে, x = (2(2)-3) / (2-2) অসংজ্ঞায়িত ।
∴ রেঞ্জ f = R -{2}
Short-cut : f(x) = (ax+b)/(cx+d) আকৃতির ফাংশনের ক্ষেত্রে রেঞ্জ f = R -{a/c}

b. x=1 এর জন্য f(x) অসংজ্ঞায়িত ।
∴ ডোম f = R -{1}
মনে করি, y = (x -1)/(x-1) = {(x+1)(x-1)}/(x-1) = x+1
⇒ y = x+1
⇒ x = y-1
এখন, y=2 হলে, x = y-1 = 2-1 = 1 কিন্তু 1 ∉ ডোম f । ∴ ∉ রেঞ্জ f ।
∴ রেঞ্জ f = R -{2}

c. f(x) এর বাস্তব মান পাওয়া যাবে যদি x+4≥0 হয় ।
⇒ x≥-4 হয় ।
∴ ডোম f = [0,α)
সকল, x≥-4 এর জন্য f(x)≥0 [কোন সংখ্যার বর্গমূল ঋণাত্মক হতে পারে না । লক্ষণীয়, √25=5 কিন্তু x =25 হলে x = ±√(25) = ±5]
∴ রেঞ্জ f = [0,α)

d. f(x) এর বাস্তব মান পাওয়া যাবে যদি x -4≥0 হয় ।
⇒ (x+2)(x-2)≥0 …

(i)ব্যবধি (x+2) এর চিহ্ন (x-2) এর চিহ্ন (x+2)(x-2)এর চিহ্ন
x≤-2 —
+
-2<x<2 + –
x≥2 + + +

(i) সত্য হবে যদি x<-2 অথবা x>2 হয় ।

∴ ডোম f = {x ∣ x<-2 অথবা x>2}
= (-α,-2]u[2,α)
সকল x ∈ ডোম f এর জন্য f(x) ≥ 0
∴ রেঞ্জ f = [0,α) [দ্রষ্টব্য, f(x) = √(a-x ) আকার ব্যতীত সকল square root ফাংশনের রেঞ্জ [0,α) ]

Short-cut :

i. x -a≥0 ⇒ x ≥a আকারের অসমতার সমাধান : x≤-√a অথবা x ≥ √a
ii. x -a≤0 ⇒ x ≤a আকারের অসমতার সমাধান : -√a≤x≤√a

e. f(x) এর বাস্তব মান পাওয়া যাবে যদি 16-x ≥0 হয় ।
⇒ x ≤16
⇒ -4≤x≤4 [see example 2(d) short-cut ii.]
∴ ডোম f = [-4,4]
সকল ∈ ডোম f এর জন্য 0≤f(x)≤4
∴ রেঞ্জ f = [0,4] [দ্রষ্টব্য, f(x) = √(a-x ) আকারের সকল square root ফাংশনের রেঞ্জ : [0,√a] ]

f. সকল এর জন্য f(x) এর বাস্তব মান পাওয়া যায় ।
∴ ডোম f = R [সকল f(x) = sinx এর ডোমেন : R ]
সকল x ∈ ডোম f এর জন্য -2≤f(x)≤2
∴ রেঞ্জ f = [-2,2] [সকল f(x) = sinx এর রেঞ্জ [-1,1] । এক্ষেত্রে, f(x) = 2sinx হওয়ায় রেঞ্জ [-2,2] ]

g. f(x) এর বাস্তব মান পাওয়া যায় যদি x≠0 হয় । [x=0 হলে f(x) = 1/x = 1/0 = অসংজ্ঞায়িত]
∴ ডোম f = R -{0}
মনে করি, y = f(x) = 1/x ⇒ x = 1/y । y=0 হলে x অসংজ্ঞায়িত ।
∴ রেঞ্জ f = R -{0}

h. f(x) এর বাস্তব মান পাওয়া যায় যদি IxI≠0 হয় ।
⇒ x ≠ 0হয় ।
∴ ডোম f = R -{0}
x>0 এর জন্য f(x) = x/(∣x∣) = x/x = 1
x<0 এর জন্য f(x) = x/(∣x∣) = x/-x = -1
∴ সকল x ∈ ডোম f এর জন্য f(x) = 1 অথবা -1
∴ রেঞ্জ f = {-1,1}

i. f(x) এর বাস্তব মান পাওয়া যায় যদি x -1 ≠ 0 হয়
⇒ x ≠ 1
⇒ x ≠ ±1 হয় ।
∴ ডোম f = R -{-1,1}
মনে করি, y = f(x) = x/(x -1)
⇒ x -1 = x/y
⇒ (x -1)/x = 1/y
এখন, y=0 হলে, (x -1)/x = অসংজ্ঞায়িত
⇒ x = অসংজ্ঞায়িত ।
কিন্তু, ডোম f ⊂ R । ∴ 0 ∈ রেঞ্জ ।
∴ রেঞ্জ f = R -{0}

j. f(x) এর বাস্তব মান পাওয়া যায় যদি x -36>0 হয় ।
⇒ x >36
⇒ x<-6 অথবা x>6 হয় ।
∴ ডোম f = [-α,-6)⋃[6,α)
∴ রেঞ্জ f = R [সকল Logrithmic ফাংশন এর রেঞ্জ R ]

3. f : R → R ফাংশনটি f(x) =
দ্বারা প্রকাশিত । f(2), f(6), f(0) নির্ণয় কর ।
f(2) = 2 -3(2) [কেননা x≥2 হলে f(x)=x -3x]
= -2
f(6) = 6 -3(6) = 18
f(0) = 0+2 [কেননা x<2 হলে f(x)=x+2]
= 2

4. f(x) = x +3x+1; g(x) = 2x-3 হলে-
a. (fog)(x)
b. (gof)(x)
c. (fof)(x)
d. (fog)(2) নির্ণয় কর ।

a. (fog)(x) = f(g(x)) = f(2x-3) = (2x-3) +3(2x-3)+1 = 4x -6x+1

b. (gof)(x) = g(f(x)) = g(x +3x+1) = 2(x +3x+1)-3 = 2x +6x-1

c. (fof)(x) = f(f(x)) = f(x +3x+1) = (x +3x+1) +3(x +3x+1)+1 = x +6x +14x +15x+5

d. (fog)(x) = 4x -6x+1
(fog)(2) = 4(2) -6(2)+1 = 5

5. f : R → R কোন ফাংশন হলে f (x) নির্ণয় কর যেখানে-
a. f(x) = 2x+3
b. f(x) = (2+3x)/(3-2x)

a. ধরি, y = f(x) = 2x+3 [∵ y=f(x) ⇒ x=f (y)]
⇒ 2x = y-3
⇒ x = (y-3)/2
⇒ f (y) = (y-3)/2
∴ f (x) = (x-3)/2

Short-cut : f(x) = ax+b হলে f (x) = (x-b)/a

b. ধরি, y = f(x) = (2x+3)/(3-2x)
[∵ y=f(x) ⇒ x=f (y)]
⇒ 3y-2xy = 2+3x
⇒ 3x-2xy = 2-3y
⇒ x(3-2y) = 2-3y
⇒ x = (2-3y)/(3-2y)
⇒ f (y) = (2-3y)/(3-2y)
∴ f (y) = (2-3y)/(3-2y)

Short-cut : f(x) = (ax+b)/(cx+d) হলে f (x) = (-dx+b)/(cx-a)

গণিতের জ্ঞান : অন্বয় ফাংশন রেঞ্জ ডোমেন ছাড়া আরোও পড়ুন-

ফেইসবুকে আপডেট পেতে আমাদের অফিসিয়াল পেইজ ও অফিসিয়াল গ্রুপের সাথে যুক্ত থাকুন। ইউটিউবে পড়াশুনার ভিডিও পেতে আমাদের ইউটিউব চ্যানেল সাবস্ক্রাইব করুন। আপডেট পেতে আমাদের টেলিগ্রাম চ্যানেল যোগ দিতে পারেন। পোস্টটি শেয়ার করে নিজের টাইমলাইনে রাখতে পারেন।